신용구간(Credible interval)

신용구간(Credible interval)에 대해 알아볼 것이다. 다룰 내용은 다음과 같다.

 

1. 신용구간의 정의

2. 신용구간의 예제

 

1. 신용구간의 정의

 

신용구간의 정의는 다음과 같다.

 

 

▷ 빈도주의(Frequentist) 관점에서는 모수가 고정되어 있기 때문에 신뢰구간(Confidence interval)에 대한 해석이 우리의 직관과 맞지 않는 문제가 발생한다. 신용구간은 모수에 대한 사후분포를 가정하고 있기 때문에 신용구간의 해석이 우리의 직관과 일치한다. 즉, 모수가 해당 신용구간에 대해 존재할 확률에 대한 해석이 가능하다.

 

2. 신용구간의 예제

 

문제)

 

동전의 앞면이 나올 확률이 균일분포를 따르고, 가능도 함수는 베르누이 분포을 따른다. 이 때, 동전을 던졌더니 앞면이 나왔다. 이 결과를 이용하여 사후분포의 신용구간을 구하여라.

 

풀이)

 

 

▷ 위의 과정을 통해 사후분포를 구한 후, 2가지 방법을 이용하여 신용구간을 구하였다. 첫 번째 방법은 ETI(Equal Tailed Interval)이다. 예를 들어, 95% 신용구간을 구하고자 할 경우, 양 끝의 2.5%에 해당하는 부분을 신용구간으로 정한다. 두 번째 방법은 HPDI(Highest Posterior Density Interval)이다.  HPDI는 확률 밀도가 가장 높은 지역부터 선택하여 찾는 가장 짧은 신용구간이다.

 

▷ 위의 그림은 두 신용구간을 시각화하였다. 95% ETI는 (0.158, 0.987), HPDI는 (0.224, 1)인 것으로 나타났다. 이 결과로부터 각 신용구간에 모수가 포함될 확률은 95%라고 할 수 있다.

 

<신용구간 시각화 R 코드>

x <- seq(from = 0, to = 1, length.out = 100)
y <- 2*x

plot(x, y, main = 'Equal Tailed Intervals: (0.158, 0.987)', 
     xlab = expression(theta), ylab = expression('f(' ~ theta ~'|y)'), 
     type = 'l')

abline(h = 0)

region_x <- x[0.158 <= x & x <= 0.987]
region_y <- y[0.158 <= x & x <= 0.987]

region_x <- c(region_x[1], region_x, region_x[length(region_x)])
region_y <- c(0, region_y, 0)

polygon(region_x, region_y, density = 10, col = 'blue')

plot(x, y, main = 'HPD Intervals: (0.224, 1)', 
     xlab = expression(theta), ylab = expression('f(' ~ theta ~'|y)'), 
     type = 'l')

abline(h = 0)

region_x <- x[0.224 <= x]
region_y <- y[0.224 <= x]

region_x <- c(region_x[1], region_x, region_x[length(region_x)])
region_y <- c(0, region_y, 0)

polygon(region_x, region_y, density = 10, col = 'red')

 

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Reference:

"신용구간과 신뢰구간의 차이 Credible Interval vs Confidence Interval," 생새우초밥집, https://freshrimpsushi.tistory.com/752.

"Bayesian Statistics: From Concept to Data Analysis," Coursera, https://www.coursera.org/learn/bayesian-statistics/.