켤레사전분포(Conjugate prior distribution)

켤레사전분포(Conjugate prior distribution)에 대해 알아볼 것이다. 다룰 내용은 다음과 같다.

 

1. 켤레사전분포의 정의

2. 켤레사전분포의 예제

 

1. 켤레사전분포의 정의

 

켤레사전분포의 정의는 다음과 같다.

 

 

▷ 즉, 사전분포(Prior distribution)와 사후분포(Posterior distribution)가 동일한 분포족에 속하면 사전분포를 켤레사전분포라고 한다.

 

▷ 켤레사전분포를 사용하는 이유는 사후분포의 계산이 편리해지기 때문이다.

 

대표적 켤레사전분포는 다음과 같다.

 

 

2. 켤레사전분포의 예제

 

문제)

 

사전분포가 베타분포을 따르고 가능도 함수가 베르누이 분포를 따를 때, 이 사전분포가 켤레사전분포임을 보여라.

 

풀이)

 

▷ 위의 결과를 통해 사전분포와 사후분포가 베타분포를 따르는 것을 확인할 수 있다. 따라서 켤레사전분포라 할 수 있다.

 

▶ 균일분포는 베타분포의 특수한 경우로, 균일 분포를 사전분포로 사용하여도 사후분포로 베타분포가 나오게 된다.

 

▶ 가능도 함수가 이항분포일 경우에도 베타분포가 켤레사전분포이다. 이는 베르누이 분포와 이항분포의 가능도 함수 형태로부터 추론할 수 있다.

 

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Reference:

정윤식, 「베이지안 통계학의 이론·계산 및 응용」, 자유아카데미(2018), p132

"켤레사전분포 Conjugae Prior," 생새우초밥집, https://freshrimpsushi.tistory.com/712.

"Bayesian Statistics: From Concept to Data Analysis," Coursera, https://www.coursera.org/learn/bayesian-statistics/.