베이즈 정리(Bayes' theorem)

베이지안 통계의 가장 핵심인 베이즈 정리(Bayes' theorem)에 대해 알아볼 것이다. 다룰 내용은 다음과 같다.

 

1. 베이즈 정리의 의미

2. 베이즈 정리의 예제

 

1. 베이즈 정리의 의미

 

베이즈 정리의 공식은 다음과 같다.

 

 

▷ 베이즈 정리에서 P(H)는 사전 확률(Prior probability)이라고 한다. 사전 확률이란 사건 E가 발생하기 전 사건 H에 대한 확률을 의미한다.

 

▷ 사건 E가 발생하게 되어 이 정보를 반영하면 사건 H의 확률은 P(H|E)로 바뀌게 되며, 이를 사후 확률(Posterior probability)이라 한다.

 

▷ P(E|H) 는 가능도(Likelihood)라 하고, 사건 H가 조건으로 주어진 상태에서 얼마나 사건 E가 가능한 지에 대한 확률을 의미한다.

 

▷ P(E) 는 증거(Evidence) 또는 정규화 상수(Normalizing constant)라 하고, 사건 E의 확률을 의미한다. 정규화 상수인 이유는 사후 확률을 구할 때, 가능도와 사전 확률의 곱의 결과를 1로 만들어 주며, H에 종속적이지 않기 때문이다.

 

▶ 베이즈 정리는 새로운 사건 E가 발생함으로써 기존 사건 H의 확률이 어떻게 변화하는지를 나타낸 것이다. 따라서 새로운 정보가 추론에 어떤 영향을 미치는지 나타내는 정리라고 할 수 있다.

 

2. 베이즈 정리의 예제

 

문제)

 

A 국가의 에이즈 감염률이 0.26%이다. 에이즈 감염자가 검사에서 양성 판정을 받을 확률이 97.7%, 비감염자가 음성 판정을 확률이 92.6%인 것으로 나타났다. 검사에서 양성 판정을 받았을 때, 검사자가 에이즈에 감염되었을 확률은 얼마인가?

 

풀이)

 

 

▷ 검사에서 양성 판정을 받았을 때, 검사자가 에이즈에 감염되었을 확률은 3.3%인 것으로 나타났다. 이는 사전 확률인 A 국가의 에이즈 감염률이 양성 판정 결과라는 정보가 추가됨에 따라 0.26%에서 3.3%로 증가한 것으로 볼 수 있다.

 

▷ 우리의 직관과 다르게 양성 반응이 나와도 에이즈에 감염되었을 확률은 5%도 되지 않는다. 이는 A국가의 에이즈 감염률이 극히 낮기 때문에 나타난 결과이다.

 

▶ 위의 결과에 따르면, A 국가의 국민은 검사에서 양성 반응이 나와도 너무 좌절할 필요는 없다. 에이즈에 감염되지 않았을 확률이 96.7%이니 말이다! :)

 

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Reference:

“6.6 베이즈 정리,” 데이터 사이언스 스쿨, https://datascienceschool.net/view-notebook/f68d16df9ea448689ae66dc2140fe673/.